4log

4log

Дано неравенство:
$$\frac{\log^{4}{\left (x + 1 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log^{4}{\left (x + 1 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log^{4}{\left (x + 1 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} = 4$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(\log^{4}{\left (x + 1 \right )} — \log{\left (81 \right )}\right) = 0$$
$$\frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(\log^{4}{\left (x + 1 \right )} — \log{\left (81 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (3 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w} \left(\log^{4}{\left (x + 1 \right )} — \log{\left (81 \right )}\right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$\log^{4}{\left (x + 1 \right )} — \log{\left (81 \right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log1+x^4 - log81 = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\log{\left (3 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1 + e^{- \sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = -1 + e^{\sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{3} = -1 + e^{- \sqrt{2} i \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{4} = -1 + e^{\sqrt{2} i \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -1 + e^{- \sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = -1 + e^{\sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 + e^{- \sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = -1 + e^{\sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

         ___ 4 ________            -\/ 2 *\/ log(3)    1  -1 + e                  - --                           10

=
$$- \frac{11}{10} + e^{- \sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log^{4}{\left (x + 1 \right )}}{\log{\left (3 \right )}}

    /         ___ 4 ________         \        4|      -\/ 2 *\/ log(3)    1     |     log |-1 + e                  - -- + 1|         \                          10    /     -------------------------------------- 
    /           ___ 4 ________\        4|  1     -\/ 2 *\/ log(3) |     log |- -- + e                 |         \  10                     / 
но
    /           ___ 4 ________\        4|  1     -\/ 2 *\/ log(3) |     log |- -- + e                 |         \  10                     / > 4 -------------------------------                  log(3)                     

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 + e^{- \sqrt{2} \sqrt[4]{\log{\left (3 \right )}}} \wedge x

         _____           /     \   -------ο-------ο-------        x1      x2



Источник: www.kontrolnaya-rabota.ru


Добавить комментарий