Формулы арифметического квадратного корня

Формулы арифметического квадратного корня

  Основные свойства арифметических корней. 

Будем считать, что все рассматриваемые числа неотрицательны, а числа, стоящие в знаменателе, не равны нулю.
Свойство 1.   .
Свойство 2. 

Свойство 3.  

Свойство 4.  Если  а  > b,  то  

Свойство 5.  Пусть  m > n.  Если  а > 1,  то    если  0 < а < 1,  то 

Замечание. Некоторые формулы с небольшими изменениями можно переписать и для отрицательных чисел. При этом под знаком радикала может появится модуль числа.
Например, если числа  а  и  b  одного знака, свойство 2 запишется так:     
 
Упражнение 1.   Испытайте на примере свойство 2 (первое равенство). Для этого рассмотрите пример:  n = 3,  a = 2197,  b = 4913.
Указание. На инструменте слева вычислите корень третьей степени из  a. На среднем инструменте — корень третьей степени из  b.  На правом нужно вычислить корень третьей степени из произведения  a  на  b.  Разумеется, после вычисления первых двух корней вам будет известен ответ  221,  однако перемножить устно числа  a  и  b  трудно (а считать на калькуляторе неинтересно).
Попробуйте найти это произведение методом последовательных приближений (например, методом половинного деления: «перелёт»-«недолёт» для угадывания цифр, начиная со старшего разряда к младшему). Сколько раз вам пришлось вычислить корень?
 

Упражнение 2.  

Испытайте на примере свойство 3 (первое равенство). Для этого рассмотрите пример:  n = 7,  k = 8,  a = 1679616.
Указание. На инструменте слева вычислите корень  kой  степени из  a. На среднем инструменте — корень  n-ой  степени из результата.  На правом нужно вычислить корень степени  nk  из  aСравните результаты на среднем и правом инструментах. Доказательство всех свойств проводится по одной и той же схеме. Докажем, например, первые из свойств 2 и 3. Доказательства свойств корней.
Свойство 2.    
По определению   – это такое число,  n степень которого равна  аb.  Если  n  –четное число, то это число положительно. Проверим, что этим же свойством обладает правая часть.
Возведем ее в  n  степень:    При четном  n  каждый множитель     и    положителен, поэтому произведение    положительно.
Свойство 3.     Возведем число     в степень  nk:     Это означает, что     – корень степени  nk  из числа  a.  Если число  nk  четно, то, по условию, число  a  положительно, а тогда являются положительными числа     и  
  Примеры преобразований дробных выражений с корнями
1)  
2)    и т.д.
3) 
4) 

5) 
6) 

  Примеры и комментарии об операциях с радикалами

Замечание 1.  Выражение    имеет смысл при любом значении  a,  так как под корнем стоит выражение     Однако при сокращении показателей надо учесть знак  a:  если     то     если же     то     например, 

Замечание 2.  Выражение    при четном  n  имеет смысл при любом значении  a.  При этом если    то     если же     то    Последние два случая можно объединить:  
Аналогично, при нечётном  n  верна формула    при любом значении  a.
Объединив вместе оба случая чётности  n  получим:

Замечание 3.  Запись корней в удобной форме.
Иногда бывает удобно убрать корень из знаменателя или вынести множитель из-под корня.

Замечание 4.  Преобразования выражений с радикалоами.
Часто при решении задач приходится, упрощая выражение, извлекать корень частично, т.е. не из всего выражения, а только из его части, избавляться от корней в числителе или знаменателе, приводить корни к одному показателю корня и совершать другие действия, которые помогут произвести дальнейшие преобразования. Избавляясь от корня в числителе или знаменателе, мы умножаем числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы извлекся корень, от которого мы хотим избавиться.

  Примеры преобразования радикалов
1) 
2) 
3) 

4) 
5) 

 

Примеры на сравнение чисел, записанных с помощью радикалов

1)    так как  
2)   так как 
3)    так как  

 



Источник: files.school-collection.edu.ru


Добавить комментарий