Тринадцатиугольник рисунок

Тринадцатиугольник рисунок

Тема: Четырехугольники

Урок: Многоугольники

В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах – многоугольниках.

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник (см. Рис. 1).

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 1. Треугольник

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

Определение.Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Определение.Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике Тринадцатиугольник рисунок, имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка Тринадцатиугольник рисунок тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через Тринадцатиугольник рисунок в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Определение 2. Многоугольник называется выпуклым, если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков Тринадцатиугольник рисунок на Рис. 2 и 3.

Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Рассмотрим их.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

Тринадцатиугольник рисунок, где Тринадцатиугольник рисунок – количество его углов (сторон).

Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 4. Выпуклый n-угольник

Из вершины Тринадцатиугольник рисунок проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на Тринадцатиугольник рисунок треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине Тринадцатиугольник рисунок. Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – Тринадцатиугольник рисунок, то сумма внутренних углов n-угольника:

Тринадцатиугольник рисунок, что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 5.

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол  Тринадцатиугольник рисунок. Имеем:

Тринадцатиугольник рисунок, что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике Тринадцатиугольник рисунок, а сумма углов Тринадцатиугольник рисунок. В четырехугольнике Тринадцатиугольник рисунок, а сумма углов – Тринадцатиугольник рисунок и т.д.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

Тринадцатиугольник рисунок, где Тринадцатиугольник рисунок – количество его углов (сторон), а Тринадцатиугольник рисунок, …, Тринадцатиугольник рисунок – внешние углы.

Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

Тринадцатиугольник рисунок

Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то Тринадцатиугольник рисунок и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

Тринадцатиугольник рисунок.

В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника Тринадцатиугольник рисунок.

Доказано.

Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна Тринадцатиугольник рисунок от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

Далее мы более подробно будем работать с частным случаем многоугольников – четырехугольниками. На следующем уроке мы познакомимся с такой фигурой, как параллелограмм, и обсудим его свойства.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Profmeter.com.ua (Источник).
  2. Narod.ru (Источник).
  3. Xvatit.com (Источник).

         

Домашнее задание

  1. № 43, 42 (а, б, в, г, з), 46 (а, б), 47 (а,б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) Тринадцатиугольник рисунок; б) Тринадцатиугольник рисунок; в) Тринадцатиугольник рисунок?
  3. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Выпуклый или невыпуклый этот четырехугольник?
  4. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды».



Источник: interneturok.ru


Добавить комментарий